Знайдть найбльше значення параметра a, при якому рвняння x^2+2ax+4a^2-5a+3=4sin y -

x + 2ax + 4a- 5a + 3 = 4siny - 3cosy;

Спростимо вираз 4siny - 3cosy за допомогою допомжного кута , скориставшись тотожнстю asiny - bcosy = (a + b)sin(y - ).

a = 4; b = 3; (a + b) = (16 + 9) = 5; ( = arcsin(b/(a + b)) = arcsin(3/5) - в цй задач шукати не обов'язково).

Отже, 4sin y - 3cosy = 5sin(y - )

x + 2ax + 4a- 5a + 3 = 5sin(y - )

Це рвняння матиме диний розв'язок тод, коли найменше значення квадратично функц спвпаде з найбльшим значення тригонометрично функц, тобто з 5.

Звдси мамо рвняння

x + 2ax + 4a- 5a + 3 = 5;

x = -b/2 =  -1 - абсциса вершини параболи.

(-1) + 2a(-1) + 4a- 5a + 3 = 5;

1 - 2a + 4a - 5a - 2 = 0;

4a - 7a - 1 = 0;

D = 49 + 16 = 65; D = 65

a = (7 - 65)/8; a =  (7 + 65)/8

Вдповдь: а = (7 + 65)/8.