Сколько пар натуральных чисел удовлетворяют равенству 3x+7y=84 ?

Решим поставленную задачку способом перебора. Будем сыскать решения данного уравнения в натуральных числах, перебирая значения у.
Выражая х через у из данного уравнения, обретаем: х = (84 - 7*у)/3. Так как х обязан быть естественным числом, то числитель дроби (84 - 7*у)/3 обязан быть кратен 3. В выражении 84 - 7*у число 84 кратно 3, как следует, вычитаемое 7*у тоже обязано быть кратно 3. Поскольку 7 не делится на 3, то выражение 7*у будет кратно 3, если у делится на 3. Таким образом, будем обретать решения начального уравнения, перебирая значения у посреди естественных чисел, кратных 3, начиная с наименьшего такового числа 3.
у = 3, х = (84 - 7*у)/3 = (84 - 7*3)/3 = (84 - 21)/3 = 21;
у = 6, х = (84 - 7*у)/3 = (84 - 7*6)/3 = (84 - 42)/3 = 14;
у = 9, х = (84 - 7*у)/3 = (84 - 7*9)/3 = (84 - 63)/3 = 7;
у = 12, х = (84 - 7*e)/3 = (84 - 7*12)/3 = (84 - 84)/3 = 0;
Все решения начального уравнения , начиная с у = 12 нам не подходят, поскольку при у = 12 значение х равняется 0 и не является натуральным числом, а при великих значениях у, х становится отрицательным и также не будет являться натуральным числом.
Как следует, равенству 3x + 7y = 84 удовлетворяют 3 пары натуральных чисел: (21;3), (14;6), (7;9).