Девятый член вырастающей геометрической прогрессии равен 2916, а произведение ее первого

Воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии bn = b1*q^(n-1), где b1 - первый член геометрической прогрессии, q - знаменатель геометрической прогрессии.
Сообразно условию задачки, b9 = 2916, следовательно, правосудно следующее соотношение:
b1*q^(9 - 1) = 2916.
Также известно, что творение первого члена b1 данной геометрической прогрессии на 5-ый член b5 равно 16, как следует, справедливо следующее соотношение:
b1*b1*q^(5 - 1) = 16.
Решаем полученную систему уравнений. Подставляя во второе уравнение значение b1 = 2916 /q^8 из первого уравнения, получаем:
(2916 /q^8)*(2916 /q^8)*q^4= 16.
Решаем полученное уравнение:
(8503056/q^16)*q^4 = 16;
8503056/q^12 = 16;
q^12 = 8503056/16;
q^12 = 531441;
q^12 = 729^2;
q^12 = (9^3)^2;
q^12 = 9^6;
q^12 = (3^2)^6;
q^12 = 3^12.
Из приобретенного соотношения следует, что q = 3 и q = -3. По условию задачки, данная геометрическая прогрессия является возрастающей, как следует значение q = -3 не подходит.
Используя соотношение b1 = 2916 /q^8, обретаем b1:
b1 = 2916 /q^8 = 2916 /3^8 = (4*3^6)/3^8 = 4/3^2 = 4/9.
Зная b1 и q, обретаем b6:
b6 = b1*q^(6-1) = b1*q^5 = (4/9)*3^5 = (4/3^2)*3^5 = 4*3^3 = 4*27 = 108.

Ответ: 6-ой член данной геометрической прогрессии равен 108.