Докажите,что выражение х^2-14x+51 принимает положительные значения при всех значениях х.

Рассмотрим функцию

у = х² - 14х + 51

• Это квадратичная функция (есть х в квадрате), график этой функции - парабола.
• Осмотрим коэффициент (число, стоящее перед х²), у нас там ничего нет, а означает, коэффициент равен единице, то есть положителен. Это разговаривает о том, что ветки параболы ориентированы ввысь.
• Чтоб выяснить, как размещается график условно оси х, необходимо отыскать нули функции.

Находим нули функции

Чтоб найти точку (либо точки) скрещения графика функции с осью х, необходимо у приравнять к нулю.

х² - 14х + 51 = 0

Решаем получившееся квадратное уравнение через дискриминант, корни этого уравнения и будут значением точки скрещения с осью х.

D = 14² - 4 * 1 * 51 = 196 - 204 = - 8

Дискриминант получился отрицательным, означает корней данного квадратного уравнения нет. 

Глядим размещение графика функции

Раз нет корней уравнения, означает нет точек скрещения с осью х. Значит, весь график функции размещается или выше, либо ниже оси х.

У нашей параболы ветки ввысь, означает, что ниже оси х она не может размещаться (по другому она рано либо поздно пересечет ось х). Парабола находится выше оси х.

А выше оси х - это только положительные значения у. Что и требовалось доказать.

Преобразуем выражение х - 14x + 51, выделив в его составе полный квадрат.

Воспользуемся для этого формулой квадрата разности (a-b) = a - 2 * a * b + b.

Представив в начальном выражении число 51 как сумму чисел 49 и 2, получаем:

х - 14x + 51 = х - 14x + 49 + 2 = х - 2 * 7 * x + 7 + 2 = (х - 7) + 2.

Приобретенное выражение является суммой квадрата величины х - 2 и положительного числа 2.

Так как квадрат хоть какого вещественного числа всегда больше либо равен нулю, то сумма квадрата хоть какого числа и некого положительного числа всегда больше нуля.

Следовательно, начальное выражение х - 14x + 51 воспринимает положительные значения при всех значениях х.