Решите уравнение. Cos10x*cos6x-cos^2 8x=0

Нам нужно решить тригонометрическое уравнение cos (10x) * cos (6x) - cos^2 (8x) = 0 используя тригонометрические тождества.

Составим алгоритм деяний для решения уравнения

• вспомним формулу косинус двойного угла и выразим из нее cos^2 (x);
• заменим cos^2 (8x) выражением, полученным из формулы косинуса двойного угла;
• вспомним формулу произведение косинусов и применим ее к творению в уравнении;
• откроем скобки и приведем подобные;
• найдем значение переменной x.

Решаем тригонометрическое уравнение cos (10x) * cos (6x) - cos^2 (8x) = 0

Одной из формул косинуса двойного угла есть формула: cos (2) = 2cos^2 () - 1.

Выразим из формулы cos^2 ().

2cos^2 () = cos (2) + 1;

cos^2 () = (1 + cos (2))/2.

Так же нам пригодится формула произведение косинусов. Давайте вспомним ее.

cos() * cos() = 1/2(cos ( + ) + cos( - )).

Применим формулы к нашему уравнению:

cos (10x) * cos (6x) - (1 + cos (16x))/2 = 0;

(cos (16x) + cos (4x))/2 - (1 + cos (16x))/2 = 0;

Умножим на 2 обе доли уравнения и откроем скобки, используя верховодила открытия скобок перед которыми стоит знак "+ " и знак " - ".

(cos (16x) + cos (4x)) - (1 + cos (16x)) = 0;

cos (16x) + cos (4x) - 1 - cos (16x) = 0;

cos (4x) - 1 = 0;

Переносим в правую часть уравнения - 1, сменив символ с минуса на плюс.

cos (4x) = 1;

А мы знаем, что cos принимает значение одинаковое единице при значении угла одинакового нулю.

Перебегаем к решению линейного уравнения:

4x = 0;

Умножим на 1/4 обе части уравнения:

x = 0.

Корень уравнения найден x = 0.

Ответ: x = 0.

Решение:

Используя уравнение тригонометрии cos^2 x= (1 + cos 2x)/2 преобразуем начальное уравнение:

cos 10x * cos 6x - (1 + cos 16x)/2 = 0;

cos 10x * cos 6x-1/2-cos 16x/2 = 0;

Используя уравнение тригонометрии cos x * cos y = (Cos(x - y) + Cos(x + y))/2 преобразуем начальное уравнение:

(cos 4x + cos 16x)/2 - 1/2 - (cos 16x)/2 = 0;

(cos 4x)/2 + (cos 16x)/2 - 1/2 - (cos 16x)/2 = 0;

(cos 4x)/2 - 1/2 = 0;

(cos 4x)/2 = 1/2;

cos 4x = 1;

cos принимает значение 1 при значении угла равного 0, поэтому:

4x=0;

x=0;

Ответ: x=0.