Cколько существует квадратных трехчленов (т.е. многочленов степени два) с целыми коэффицентами,

Решение


Пусть f(x) = ax2 + bx + c. По условию f(0) 1, f(1/2) 1, f(1) 1, то есть c 1, a + 2b + 4c 4, a + b + c 1. Отсюда
a = 2(a + b + c) (a + 2b + 4c) + 2c 2a + b + c + a + 2b + 4c + 2c 8,
b = (a + 2b + 4c) 3c (a + b + c) a + 2b + 4c + 3c + a + b + c 8.
Следовательно, a + b + c 8 + 8 + 1 = 17.

  Условие нахождения графика функции в обозначенной области

   Вычислим производную:

      y(x) = ax + bx + c;

      y(x) = 2ax + b.

   Определим значения y(x) и y(x) в точках 0 и 1:

      y(0) = c; y(1) = a + b + c;

      y(0) = b; y(1) = 2a + b.

   По условию задачки имеем:

      0 y(0) 1
      0 y(1) 1

   Так как отыскиваем многочлены только с целыми коэффициентами, то:

      y(0) = 0 или y(0) = 1;

      y(1) = 0 либо y(1) = 1.

   Чтобы график функции лежал в обозначенной области, значение производной в этих точках обязано удовлетворять условиям:

      y(0) = 0
      y(0) 0

      y(0) = 1
      y(0) 0

      y(1) = 0
      y(1) 0

      y(1) = 1
      y(1) 0

   Как следует, вероятны 4 варианта:

1. y(0) = 0; y(1) = 0;
2. y(0) = 0; y(1) = 1;
3. y(0) = 1; y(1) = 0;
4. y(0) = 1; y(1) = 1.

  Вычисление коэффициентов многочлена   

   Осмотрим каждый случай в отдельности.

   1) y(0) = 0; y(1) = 0;

      y(0) = 0
      y(0) 0
      y(1) = 0
      y(1) 0

      c = 0
      b 0
      a + b + c = 0
      2a + b 0

      c = 0
      b 0
      a + b = 0
      a 0

      [c = 0; a = 0; b = 0
      [c = 0; a -1; b = -a

   В первом случае функция не имеет вторую ступень. Во втором случае получим параболу, проходящую через точки (0; 0) и (1; 0), ветки которой ориентированы вниз. Потому нужно только проверить, чтоб значение ординаты верхушки параболы было не больше 1:

      y(1/2) = a * (1/2) + b * (1/2) = a/4 + b/2 = a/4 - a/2 = -a/4;

      y(1/2) 1;

      -a/4 1;

      a -4;

      (a; b; c) = (-4; 4; 0) (-3; 3; 0) (-2; 2; 0) (-1; 1; 0).

   2) y(0) = 0; y(1) = 1;

      y(0) = 0
      y(0) 0
      y(1) = 1
      y(1) 0

      c = 0
      b 0
      a + b + c = 1
      2a + b 0

      c = 0
      b 0
      a + b = 1
      a -1

      [c = 0; b = 0; a = 1
      [c = 0; b = 1; a = 0
      [c = 0; b = 2; a = -1

   Если a = 0 исключить, то

      (a; b; c) = (1; 0; 0) (-1; 2; 0).

   3) y(0) = 1; y(1) = 0;

      y(0) = 1
      y(0) 0
      y(1) = 0
      y(1) 0

      c = 1
      b 0
      a + b + c = 0
      2a + b 0

      c = 1
      b 0
      a + b = -1
      a 1

      [c = 1; b = 0; a = -1
      [c = 1; b = -1; a = 0
      [c = 1; b = -2; a = 1

   Если a = 0 исключить, то

      (a; b; c) = (-1; 0; 1) (1; -2; 1).

   4) y(0) = 1; y(1) = 1;

      y(0) = 1
      y(0) 0
      y(1) = 1
      y(1) 0

      c = 1
      b 0
      a + b + c = 1
      2a + b 0

      c = 1
      b 0
      a + b = 0
      a 0

      [c = 1; a = 0; b = 0
      [c = 0; a 1; b = -a

   В первом случае функция не имеет вторую степень. Во втором случае получим параболу, проходящую через точки (0; 1) и (1; 1), ветки которой ориентированы ввысь. Потому необходимо только проверить, чтоб значение ординаты верхушки параболы было не меньше нуля:

      y(1/2) = a * (1/2) + b * (1/2) + с = a/4 + b/2 + 1 = a/4 - a/2 + 1 = -a/4 + 1;

      y(1/2) 0;

      -a/4 + 1 0;

      a 4;

      (a; b; c) = (1; -1; 1) (2; -2; 1) (3; -3; 1) (4; -4; 1).

   Таким образом, имеем всего 12 решений:

      (-4; 4; 0) (-3; 3; 0) (-2; 2; 0) (-1; 1; 0);

      (1; 0; 0) (-1; 2; 0);

      (-1; 0; 1) (1; -2; 1);

      (1; -1; 1) (2; -2; 1) (3; -3; 1) (4; -4; 1).

   Ответ: 12 многочленов ступени 2, а из их 5 являются полными трехчленами.