Обоснуйте неравенство, если xamp;gt;0, yamp;gt;0, zamp;gt;0 (1+y/x)(1+z/y)(1+x/z)amp;gt;(либо=)8

   Нужно обосновать неравенство:

      (1 + y / x) * (1 + z / y) * (1 + x / z) 8, если x gt; 0, y gt; 0, z gt; 0.

  Обозначения

   Обозначим:    

•  y / x = p;
•  z / y = q;
•  x / z = r.

   Т. к. переменные x, y и z положительны, то их отношения тоже будут положительными числами:

      p gt; 0; q gt; 0; r gt; 0.

   Заметим также, что:

      p * q = (y / x) * (z / y) = z / x = 1 / (x / z) = 1 / r;

      q * r = (z / y) * (x / z) = x / y = 1 / (y / x) = 1 / p;

      p * r = (y / x) * (x / z) = y / z = 1 / (z / y) = 1 / q;

      p * q * r = (y / x) * (z / y) * (x / z) = 1.

   Как следует, необходимо обосновать неравенство:

      (1 + p) * (1 + q) * (1 + r) 8, либо

      (1 + p) * (1 + q) * (1 + r) - 8 0. (1)

  Преобразование левой доли неравенства

   Для удобства преображений, левую часть неравенства (1) обозначим M:

      M = (1 + p) * (1 + q) * (1 + r) - 8;

      M = 1 + (p + q + r) + (p * q + q * r + r * p) + p * q * r - 8;

      M = 1 + (p + q + r) + (1 / p + 1 / q + 1 / r) + 1 - 8;

      M = (p + q + r) + (1 / p + 1 / q + 1 / r) - 6.

  Выделение квадратов двучленов

   Выделим полные квадраты двучленов:

      M = (p + q + r) + (1 / p + 1 / q + 1 / r) - 6.

      M = (p + 1 / p) + (q + 1 / q) + (r + 1 / r) - 6;

      M = (p - 2 + 1 / p) + (q - 2 + 1 / q) + (r - 2 + 1 / r);

      M = (p - 1 / p) + (q - 1 / q) + (r - 1 / r).

   Так как квадрат каждого бинома воспринимает только неотрицательные значения, то их сумма тоже неотрицательна:

      (p - 1 / p) + (q - 1 / q) + (r - 1 / r) 0, как следует

      (1 + p) * (1 + q) * (1 + r) - 8  0;

      (1 + y / x) * (1 + z / y) * (1 + x / z) 8.

   Что и требовалось доказать.