Сумма 2-ух естественных чисел, одно из которах при разделеньи на 3

Даны естественные числа А и В. Знаменито, что А при дробленьи на 3 дает в остатке 1, а В при делении на 5 дает в остатке 3. Также:

А + В = 69;

Надобно отыскать все вероятные пары чисел А и В, удовлетворяющие этим условиям.

Уравнение по условиям задачки

Если естественное число С делится на натуральное число D с остатком p, то число С можно записать в виде:

C = k * D + p;

где k это естественное число.

В нашем случае:

А = m * 3 + 1;

B = n * 5 + 3;

где m и n естественные числа.

Зная, что:

А + В = 69;

получаем:

(m * 3 + 1) + (n * 5 + 3) = 69;

Далее:

3 * m + 5 * n = 65;

Вычисление чисел А и В

Заметим, что в полученном уравнении (5 * n) и число 65 делятся на 5 без остатка. Это значит, что это уравнение будет иметь натуральные решения если только 1-ое слагаемое (3 * m) также будет делиться на 5 без остатка. Это вероятно только если само число m делится на 5 нацело, т.е. когда:

m = 5 * l;  

где l натуральное число.

Получаем:  

3 * (5 * l) + 5 * n = 65;

3 * l + n = 13;

Явно, что если l gt; 4, то 3 * l gt; 12, у уравнения нет естественных решений.

Соответственно,  

• при l = 1 имеем n = 13 - 3 = 10; m = 5 и A = 3 * 5 + 1 = 16; B = 5 * 10 + 3 = 53;
• при l = 2 имеем n = 13 - 6 = 7; m = 10 и A = 3 * 10 + 1 = 31; B = 5 * 7 + 3 = 38;
• при l = 3 имеем n = 13 - 9 = 4; m = 15 и A = 3 * 15 + 1 = 46; B = 5 * 4 + 3 = 23;
• при l = 4 имеем n = 13 - 12 = 1; m = 20 и A = 3 * 20 + 1 = 61; B = 5 * 1 + 3 = 8;

Проверка:

16 + 53 = 31 + 38 = 46 + 23 = 61 + 8 = 69;

Ответ: разыскиваемые пары чисел 16 и 53; 31 и 38; 46 и 23; 61 и 8

Найдем данные числа методом перебора.

Сообразно условию задачи, первое число дроблении на 3 даёт остаток 1, 2-ое число при делении на 5 даёт остаток 3, а сумма этих чисел одинакова 69.

Поскольку 2-ое число при разделеньи на 5 даёт остаток 3, это число можно представить в виде 5 * k + 3, где k - некое целое число.

Осмотрим 3 возможных варианта для значения k.

1) k делится на 3 без остатка.

Тогда k = 3 * n, где n - некое целое число, и 2-ое число будет равно:

5 * k + 3 = 5 * 3 * n + 3 = 3 * (5 * n + 1).

Тогда первое число обязано быть одинаково 69 - 3 * (5 * n + 1) = 3 * (23 - 5 * n - 1).

По условию задачи, 1-ое число делении на 3 даёт остаток 1, но так как число 3 * (23 - 5 * n - 1) делится на 3 без остатка, то такое значение k не подходит.

2) k делится на 3 с остатком 1.

Тогда k = 3 * n + 1, где n - некое целое число, и 2-ое число будет одинаково:

5 * k + 3 = 5 * (3 * n + 1) + 3 = 15 * n + 5 + 3 = 15 * n + 8.

Тогда 1-ое число должно быть равно 69 - 15 * n - 8. = 61 - 15 * n = 60 - 15 * n + 1 = 3 * (20 - 5 * n) + 1.

Приобретенное выражение делится на 3 с остатком 1, как следует при таком значении k получаем числа, удовлетворяющие решению задачи:

при n = 0 : 61 и 8;

при n = 1 : 46 и 23;

при n = 2 : 31 и 38;

при n = 3 : 16 и 53.

2) k делится на 3 с остатком 2.

Тогда k = 3 * n + 2, где n - некое целое число, и 2-ое число будет равно:

5 * k + 3 = 5 * (3 * n + 2) + 3 = 15 * n + 10 + 3 = 15 * n + 13.

Тогда 1-ое число должно быть одинаково 69 - 15 * n - 13. = 56 - 15 * n = 54 - 15 * n + 2 = 3 * (18 - 5 * n) + 2.

По условию задачки, 1-ое число при делении на 3 даёт остаток 1, но так как число 3 * (18 - 5 * n) + 2 при делении на 3 даёт остаток 2, то такое значение k не подходит.

Ответ: условию задачи удовлетворяют последующие пары чисел: 61 и 8, 46 и 23, 31 и 38, 16 и 53.