( x^2-x+1)(x^2-x-7)=65

   Решите уравнение:   

   (x - x + 1) * (x - x - 7) = 65.

  Введение новейшей переменной y

   Преобразуем уравнение таким образом, чтобы выражения в скобках являлись суммой и разностью одних и тех же выражений: x - x - 3 и 4.

      (x - x + 1) * (x - x - 7) = 65;

      (x - x - 3 + 4) * (x - x - 3 - 4) = 65;

      ((x - x - 3) + 4) * ((x - x - 3) - 4) = 65.

   Для удобства преображений обозначим:

      y = x - x - 3    (1)

   и, заменив в уравнении (1) выражение x - x - 3 на y, решим получившееся уравнение относительно y:

      (y + 4) * (y - 4) = 65;

      y - 16 = 65;

      y = 65 + 16;

      y = 81;

      y = 9.

  Решение уравнения условно x

   Для каждого из двух значений y решим уравнение (1) и найдем подходящие значения х.

   1. y = - 9;

      x - x - 3 = - 9;

      x - x - 3 + 9 = 0;

      x - x + 6 = 0.

   Вычислим дискриминант квадратного уравнения:

      D = b - 4 * a * c;

      D = 1 - 4 * 1 * 6 = 1 - 24 = - 23.

   Поскольку дискриминант меньше нуля, то для значения y = - 9 уравнение не имеет решений.

   2. y = 9;

      x - x - 3 = 9;

      x - x - 3 - 9 = 0;

      x - x - 12 = 0.

   Дискриминант в этом случае положителен, как следует, уравнение имеет два решения:

   D = 1 + 4 * 1 * 12 = 1 + 48 = 49;

• x = (- b  D) / (2 * a);
• x = (1 D) / 2;
• x = (1 49) / 2;
• x = (1 7) / 2; 

      x₁ = (1 - 7) / 2 = - 6 / 2 = - 3;

      x₂ = (1 + 7) / 2 = 8 / 2 = 4.

   Ответ: - 3; 4.

 

(x ^ 2 - x + 1) * (x ^ 2 - x - 7) = 65;

Пусть x ^ 2 - x = a, тогда получим:

(a + 1) * (a - 7) = 65;

Раскрываем скобки. Для этого каждые значения в первой скобке, умножаем на каждое значение во второй скобке, и складываем их в согласовании с их знаками. Тогда получаем:

a ^ 2 - 7 * a + a - 7 = 65;

a ^ 2 - 6 * a - 7 - 65 = 0;

a ^ 2 - 6 * a - 72 = 0;

Найдем дискриминант квадратного уравнения:

D = b2 - 4ac = (-6)2 - 41(-72) = 36 + 288 = 324;

Так как дискриминант больше нуля то, квадратное уравнение имеет два реальных корня:

x1 = (6 - 324)/(2 1) = (6 - 18)/2 = - 12/2 = - 6;

x2 = (6 + 324)/(2 1) = (6 + 18)/2 = 24/2 = 12;

Тогда получим еще 2 уравнения:

1) x ^ 2 - x = - 6;

x ^ 2 - x + 6 = 0;

D = b2 - 4ac = (-1)2 - 4 1 6 = 1 - 24 = - 23;

Так как дискриминант меньше нуля, то уравнение не имеет реальных решений.

2) x ^ 2 - x = 12;

x ^ 2 - x - 12 = 0;

D = b2 - 4ac = (-1)2 - 4 1 (- 12) = 1 + 48 = 49;

x1 = (1 - 49)/(2 1) = (1 - 7)/2 = -6/2 = - 3;

x2 = (1 + 49)/(2 1) = (1 + 7)/2 = 8/2 = 4;

Ответ: х = - 3 и х = 4.