Решите уравнение x^3+3x^2-x-3=0

Нам нужно решить уравнение  x^3 + 3x^2 - x - 3 = 0 в которой переменная находится в третьей ступени.

Попробуем конвертировать выражение в левой части уравнения в творенье.

Представляем выражение в левой части уравнения в виде творенья

Давайте сгруппируем попарно 1-ое со вторым слагаемые и третье с четвертым и вынесем общий множитель за скобки.

(x^3 + 3x^2) - (x + 3) = 0;

x^2(x + 3) - (x + 3) = 0;

Сейчас мы можем представить выражение в левой доли в виде произведения. Вынесем (х + 3) как общий множитель за скобки, получим:

(x + 3)(x^2 - 1) = 0.

Давайте разложим на множители вторую скобку. Для этого будем использовать формулу сокращенного умножения разность квадратов a^2 - b^2 = (a - b)(a + b).

Получим уравнение:

(х + 3)(х - 1)(х + 1) = 0.

Анализ приобретенного уравнения

Проанализируем приобретенное уравнение. В правой доли уравнения стоит ноль. В левой доли творение 3-х скобок (х + 3), (х - 1) и (х + 1).

Знаменито, что произведение равно нулю, когда желая бы один из множителей равен нулю.

Чтоб найти все возможные решения уравнения перейдем к решению 3-х линейных уравнений:

1. х + 3 = 0;
2. х - 1 = 0;
3. х + 1 = 0.

Решаем три линейных уравнения

1) х + 3 = 0;

переносим в правую часть уравнения слагаемые без переменной:

х = - 3.

2) х - 1 = 0;

решаем аналогично предшествующему:

х = 1.

3) х + 1 = 0;

х = - 1.

Ответ: х = - 3; х = 1 и х = - 1 корешки кубического уравнения.

Сгруппируем 1-ые два члены и 3-ий с четвертым, из первых 2-ух вынесем х^2 за скобки, из 3 и 4 вынесем -1, имеем:
x^3 + 3x^2 - x - 3 = 0;
х^2 * (х + 3) - 1 * (х + 3) = 0;
Вынесем общий множитель (х + 3) за скобки, тогда:
(х + 3) (х^2 - 1) = 0;
Так как а^2 - в^2 = (а - в) (а + в), тогда:
(х + 3) (х - 1) (х + 1) = 0
Произведение одинаково нулю, если один из множителей равен нулю, то есть:
х + 3 = 0 либо х - 1 = 0 или х + 1 = 0, отсюда
х = - 3 либо х = 1 либо х = - 1
Ответ: уравнение имеет три корня - 3; 1; - 1.