Осмотрим угловой сектор на плоскости с верхушкой в начале координат и

   Для решения задачки будем пользоваться последующими фактами:

• Сумма углов в треугольнике равна 180.
• Две прямые имеют только одну точку скрещения.
• Угол падения равен углу отражения.

  Анализ условия задачки

   По условию задачки шарик бьется о стенки сектора шириной в 30. Каждый раз, когда он ударится о какую-или сторону сектора, траектория полета шарика со сторонами сектора будет образовывать треугольник. Если шарик не будет создавать такие треугольники, это будет означать, что он улетел на бесконечность.

  Нахождение количества ударов шарика о стены

   По условию угол меж стенами сектора равен 30 и первый угол, который создает линия движения полета шарика, равен 110. Сумма этих двух углов одинакова 110 + 30 = 140. Эта суммы меньше  180, как следует, шарик ударится о обратную стену сектора и образует треугольник. Тогда угол, под которым свалится шарик к стене сектора равен:

180 - 140 = 40

   Угол падения шарика равен углу отражения, означает угол отражения тоже равен 40. 

   Найдем углы треугольника, который появляется первым отскоком шарика. 1-ый угол рассчитаем из суммы смежных угол к одной из сторон сектора и первой траекторией полета шарика. Он будет равен:

180 - 110 = 70

   Второй угол треугольника рассчитаем из суммы смежных углов ко 2-ой из сторон сектора и углов падения и отражения шарика. Он будет равен:

180 - 40 - 40 = 100 

   Тогда 3-ий угол треугольника (угол падения к стороне сектора) равен:

180 - 70 - 100 = 10

   Как следует, шарик ударится 2-ой раз о стену сектора.

   Найдем углы треугольника, который появляется вторым отскоком шарика. 1-ый угол рассчитаем из суммы смежных угол к одной из сторон сектора и вторым углом падения и отражения. Он будет равен:

180 - 10 - 10 = 160

   2-ой угол треугольника равен первому углу отражения 40. Сумма отысканных углов равна:

160 + 40 = 200

   Приобретенная сумма больше 180, следовательно, после второго отскока шарик улетит на бесконечность, так как получить 3-ий угол треугольника невероятно.

   Ответ: два удара.