Докажите, что многочлен не воспринимает отрицательных значений: 1-4ab+(a^2)*(b^2)+a^2+b^2

Признаки положительного значения выражения

Если выражение находится в квадрате (или в иной четной ступени), так как хоть какое число в квадрате позитивно, то и все значение будет позитивно.

Если выражение состоит из суммы квадратов (либо иной четной ступени), то значение выражения позитивно.

Формулы сокращенного умножения для решения

• Квадрат суммы (a + b)² = a² + 2ab + b²;
• Квадрат разности (a - b)² = a² - 2ab + b²;
• Разность квадратов (a - b)(a + b) = a² - b².

Осмотрим выражение 1 - 4ab + a²b² + a² + b²

Преобразуем выражение, чтоб можно было свернуть данное выражение по одной из формул сокращенного умножения.

1) 1 - 4ab + a²b² + a² + b² 

-4аb = - 2ab + (- 2ab)

1 - 4ab + a²b² + a² + b² = 1 - 2ab + (- 2ab) + a²b² + a² + b² 

2) Поменяем местами одночлены.

1 - 2ab + a²b² + a² + (- 2ab) + b² 

3) Единицу можно представить как единица в квадрате.

1² - 2ab + a²b² + a² + (- 2ab) + b² 

4) Первые три одночлена можно свернуть по формуле квадрата разности.

1² - 2ab + a²b² = (1 - аb)²

5) Следующие три одночлена тоже можно свернуть в скобку по формуле.

a² + (- 2ab) + b² = (a - b)²

Наше выражение приобрело вид  (1 - аb)² + (a - b)²

Как лицезреем, вышла сумма квадратов. А так как каждая скобка в квадрате это всегда положительное число, то и сумма квадратов тоже будет положительным числом.

Поэтому выражение 1 - 4ab + a²b² + a² + b² не принимает отрицательных значений.  

Данный многочлен является многочленом 2-ой степени. Тогда, используя формулу (а b)^2 = a^2 2 * a * b + b^2, запишем начальный многочлен в следующем виде: 1 4 * a * b + (a^2) * (b^2) + a^2 + b^2 = (1 2 * a * b + (a^2) * (b^2)) + (a^2 + b^2 2 * a * b) = = (1 a * b)^2 + (a b)^2. Так как (1 a * b)^2 gt; 0 и (a b)^2 gt; 0, следовательно, начальный многочлен не воспринимает отрицательных значений.