Решите уравнение 2sin^2x+5sinx+1=0

Уравнения с тригонометрическими функциями нередко решаются через замену функции иной переменной.

При решении уравнения с тригонометрической функцией важно держать в голове

• Главную тригонометрическую формулу: 1 = sin²a + cos²а;
• Пристально смотреть за ОДЗ (область допустимых значений);
• Сменять тригонометрическую функцию можно только тогда, когда в уравнении больше нет иных тригонометрических функций.

Нам дано уравнение 2cos²x + 5sinx + 1 = 0

Заменим cos²x синусом в квадрате по формуле 1 = sin²a + cos²а.

Из этой формулы следует, что cos²а = 1 - sin²a.

Подставим выраженное значение cos²а в наше уравнение.

2(1 - sin²a) + 5sinx + 1 = 0

Раскрываем скобки и подводим подобные слагаемые.

2 - 2sin²a + 5sinx + 1 = 0

- 2sin²a + 5sinx + 3 = 0

Умножим все уравнение на (- 1) для облегчения последующих расчетов.

2sin²a - 5sinx - 3 = 0

Произведем замену

Пусть sina = р.

Получается квадратное уравнение 2р² - 5р - 3 = 0.

Решаем его через дискриминант.

а = 2, в = - 5, с = - 3.

D = в² - 4ас = 5² - 4 * 2 * (-3) = 25 + 24 = 49 (кв.корень равен 7)

р₁ = (5 + 7)/(2 * 2) = 12/4 = 3

р₂ = (5 - 7)/(2 * 2) = (- 2)/4 = - 1/2

Возвращаемся к подмене

sin²a = р. Подставляем вместо Р получившиеся корешки 3 и - 1/2.

sina = 3 (такового не может быть, синус всегда меньше единицы, но больше минус единицы)

sina = - 1/2

С поддержкою единичной окружности обретаем:

а = - П/6 + 2Пn, n - целое число

а = - 5П/6 + 2Пn, n - целое число

2 * sin ^ 2 x + 5 * sin x + 1 = 0;

Пусть sin x = a, тогда получим:

2 * a ^ 2 + 5 * a + 1 = 0;

Найдем корешки квадратного уравнения через дискриминант:

D = b ^ 2 - 4 * a * c = 5 ^ 2 - 4 * 2 * 1 = 25 - 16 = 9;

a1 = (- 5 + 3)/(2 * 2) = - 2/4 = - 1/2;

a2 = (- 5 - 3)/(2 * 2) = - 8/2 = - 4;

Тогда:

1) sin x = - 1/2;

x = (- 1) ^ n * arcsin (- 1/2) + pi * n, где n принадлежит Z;

x = (- 1) ^ n * (- pi/6) + pi * n, где n принадлежит Z;

x = - (- 1) ^ n * pi/6 + pi * n, где n принадлежит Z;

2) sin x = - 4;

Нет корней;

Ответ: x = - (- 1) ^ n * pi/6 + pi * n, где n принадлежит Z.