Найдите сумму 1^2-2^2+3^2-4^2+...99^2-100^2

Для решения этой задачки нам надобно конвертировать имеющуюся числовую последовательность, используя формулу разности квадратов.

Преображение последовательности

Имеем последовательность: 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 +...+ 99^2 - 100^2;
Есть 100 членов последовательности, каждую пару из которых можно представить в виде разности квадратов:
a1 = 1^2 - 2^2 = (1 - 2)(1 + 2) = -3;
a2 = 3^2 - 4^2 = (3 - 4)(3 + 4) = -7;
a3 = 5^2 - 6^2 = (5 - 6)(5 + 6) = -11;
a4 = 7^2 - 8^2 = (7 - 8)(7 + 8) = -15;
Пятидесятый член этой последовательности будет равен:
a50 = 99^2 - 100^2 = (99 - 100)(99 + 100) = -199;

Посчитаем сумму членов последовательности

У нас образовалась арифметическая прогрессия такая, что:

• a1 = -3 первый член арифметической прогрессии;
• a50 = -199 пятидесятый член арифметической прогрессии;
• d = - 4 разность прогрессии;
• n = 50 количество суммируемых членов.

Тогда сумму n членов арифметической прогрессии можно вычислить по формуле:
Sn = ((a1 + an) / 2 ) n = ((-3 - 199) / 2) 50 = (-101) 50 = -5050;
Ответ: - 5050;

Преобразуем начальное выражение, используя формулу разности квадратов a - b = (a - b) * (a + b).

1 - 2 + 3 -4 + ... 99 - 100 = (1 - 2) * (1 + 2) + (3 - 4) * (3 + 4) + ... + (99 - 100) * (99 + 100) = (-1) * (1 + 2) + (-1 )* (3 + 4) + ... + (-1) * (99 + 100) = (-1) * (1 + 2 + 3 + 4 + ... + 99 + 100).

Выражение 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 99 + 100 представляет собой сумму первых 100 членов арифметической прогрессии аn с первым членом а1 = 1 и разностью d = 1.

Используя формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии Sn = (2 * a1 + d * (n - 1)) * n / 2 при n = 100, получаем:

S100 = (2 * a1 + d * (100 - 1)) * 100 / 2 = (2 * a1 + d * 99) * 50 = (2 * 1 + 1 * 99) * 50 = 101 * 50 = 5050.

Как следует, исходная сумма одинакова:

1 - 2 + 3 -4 + ... 99 - 100 = (-1) * 5050 = - 5050.