При каком значении а есть корешки в уравнении 4х - (3а+1)х

Квадратное уравнение имеет корешки, когда дискриминант этого квадратного уравнения больше либо равен нулю.

Найдем дискриминант D данного квадратного уравнения:

D = (3а + 1) + 4 * 4 * (a + 2) = 9a + 6a + 1 + 16a + 32 = 9a + 22a + 33 = 9a + 22a + 121/9 - 121/9 + 32 = (3a + 11/3) + 32 - 121/9 = (3a + 11/3) + 167/9.

Приобретенное выражение является суммой квадрата выражения 3a + 11/3 и положительной дроби 167/9.

Поскольку квадрат числа всегда больше либо равен нулю, то данное выражение всегда позитивно.

Как следует, дискриминант данного квадратного уравнения всегда больше нуля, а означает, данное квадратное уравнение имеет два корня при всех значениях а.

Ответ: данное квадратное уравнение имеет корешки при всех значениях а.