Найдите сумму 5 первых членов геометрической прогрессии,если а2=4,а3=7

Нам нужно отыскать сумму 5 первых членов геометрической прогрессии.

Осмотрим теорию

Прогрессией в арифметике нарекают некую последовательность чисел, которая отвечает определенному закону, то есть которая появляется сообразно некому правилу.

Геометрической прогрессией в арифметике, в свою очередь, называется такая последовательность в которой каждый следующий член начиная со второго выходит умножением предыдущего на некоторую постоянную. Данную постоянную называют знаменателем геометрической прогрессии.

Для нахождения суммы n первых членов геометрической прогрессии употребляют последующую формулу:

S_ⁿ = a₁ * (qⁿ - 1) / (q - 1)

в которой:

• S_n - сумма n первых членов геометрической прогрессии;
• a₁ - 1-ый член данной прогрессии;
• q - знаменатель геометрической прогрессии (постоянная);
• n - порядковый номер члена геометрической прогрессии.

Как следует для решения поставленной задачки нам необходимо и достаточно воспользоваться данной формулой.

Найдем сумму первых 5 членов прогрессии

Из условия задачки нам знаменито, что второй и 3-ий члены данной геометрической прогрессии равняется:

a₂ = 4

a₃ = 7

Теперь нам нужно отыскать разность прогрессии:

q = a_n-1 / a_n = a₃ / a₂ = 7 / 4

Сейчас найдем первый член данной геометрической прогрессии:

a₁ = a_n / q^n-1 = a₂ / q = 4 / 7/4 = 4 * 4/7 = 16/7

Так как нам нужно отыскать сумму первых 5 членов, то есть S5, как следует мы можем утверждать последующее:

n = 5

Таким образом мы получаем:

S₅ = 16/7 * ((7/4)⁵ - 1) / (7/4 - 1) = 16/7 * (16807 / 1024 - 1) / 3/4 = 16/7  * 4/3 * 15783/1024 = 1/7 * 4/3 * 15783/64 = 1/7 * 5261/16 = 5261 / 112 = 46 109/112

Ответ: 46 109/112

Вспомним формулу для нахождения суммы первых n членов арифметической прогрессии (Sn):

Sn = n * (a1 + an) / 2, где n количество складываемых членов прогрессии, a1 первый член прогрессии, an n-ый член прогрессии.

Означает, для того чтобы найти S5, нужно знать а1 и а5.

Зная 2-ой и третий члены арифметической прогрессии можно отыскать ее разность (d) по формуле:

d = an+1 - an.

Вычислим разность данной прогрессии:

d = a3 - a2 = 7 - 4 = 3.

Найдем 1-ый член прогрессии, выразив его значение из формулы d = an+1 - an.

an = an+1 - d.

a1 = a2 - d,

a1 = 4 - 3 = 1.

Найдем 5-ый член прогрессии.

Вспомним формулу для нахождения n-ого члена арифметической прогрессии (an):

an = a1 + (n - 1) * d, где n порядковый номер искомого члена прогрессии, d разность прогрессии.

a5 = 1 + (5 - 1) * 3 = 1 + 4 * 3 = 1 + 12 = 13.

Сейчас вычислим сумму 5 первых членов заданной прогрессии:

S5 = 5 * (1 + 13) / 2 = 5 * 14 / 2 = 35.

Ответ: 35.