При каком значении а сумма квадратов корней уравнения x^2+ax+a-2=0 является наименьшей?

   1. Квадратное уравнение имеет решение при неотрицательном значении дискриминанта:

      x^2 + ax + a - 2 = 0;

      D = a^2 - 4(a - 2);

      D = a^2 - 4a + 8 = (a - 2)^2 + 4 gt; 0.

      D gt; 0, как следует, уравнение имеет два корня для хоть какого значения a.

   2. По аксиоме Виета:

• x1 + x2 = -a; (1)
• x1x2 = a - 2. (2)

   3. Для суммы квадратов корней получим:

      S = x1^2 + x2^2 = (x1 + x2)^2 - 2x1x2;

      S = a^2 - 2(a - 2) = a^2 - 2a + 4 = (a - 1)^2 + 3.

   4. Меньшее значение для этой суммы получим при a = 1;

      S(min) = (1 - 1)^2 + 3 = 3.

   Ответ: a = 1; S = 3.