Решите уравнение 2sin2x +( 2-1)=2-1(sinx-cosx)

Найдем значение выражения 2sin(2x) - 2:

2sin(2x) - 2 = - 2(1 - sin(2x) ) = - 2(sin^2 x - 2sin x * cos x + cos^2 x) =
= - 2(sin x - cos x)^2;

Подставляем в уравнение:
- 2(sin x - cos x)^2 + 2 + 1 = (2 - 1) (sin x - cos x);

2(sin x - cos x)^2 + (2 - 1) (sin x - cos x) - (2 + 1) = 0;

Подмена sin x - cos x = y;

2y^2 + (2 - 1)y - (2 + 1) = 0;

Решаем квадратное уравнение:

D = (2 - 1)^2 - 4 * 2( - (2 + 1) ) = 2 - 22 + 1 + 8(2+1) = 11 + 62 =

= 2 + 9 + 2 * 32 = (3 + 2)^2;

x1 = (1 - 2 - 3 - 2) / 4 = ( - 2 - 22) / 4 = - (1 + 2) / 2;

x2 = (1 - 2 + 3 + 2) / 4 = 4 / 4 = 1;

Создадим оборотную подмену:

1) 2 * sin(x - pi/4) = - (1 + 2) / 2;

sin(x - pi / 4) = - (1 + 2) / (22) = - (2 + 2) / 4;

x1 = pi/4 - arcsin( (2 + 2) / 4) + 2pi * k, k Z;

x2 = 3pi/4 + arcsin((2 + 2) / 4) ) + 2pi * k, k Z;

2) 2 * sin(x - pi/4) = 1;

sin(x - pi/4) = 1 / 2;

x3 = pi / 4 + pi / 4 + 2pi * n = pi/2 + 2pi * n, n Z;

x4 = pi / 4 + 3pi / 4 + 2pi * n = pi + 2pi * n, n Z.