Найдите площадь треугольника A (1;0) B (0;4) C (3;3)

Воспользуемся формулой расстояния меж 2-мя точками А и B на координатной плоскости с координатами А(х1;у1) и B(х2;у2):

AB = ((х1 - х2) + (у1 - у2)),

и найдем длины всех сторон данного треугольника: 

AB = ((1 - 0) + (0 - 4)) = (1 + 4)  = (1 + 16) = 17;

BC = ((0 - 3) + (4 - 3))  = (3 + 1) = (9 + 1) = 10.

AC = ((1 - 3) + (0 - 3))  = (2 + 3) = (4 + 9) = 13.

Для вычисления площади треугольника по трем граням этого треугольника воспользуемся знаменитой формулой Герона:

S = (р * (р - а) * (р - b) * (p - c)),

где а, b и с длины сторон этого треугольника, а р полупериметр этого треугольника, одинаковый р = (а + b + с) / 2.

Обретаем полупериметр треугольника ABC:

р = (AB + BC + AC) / 2 = (17 + 10 + 13) / 2.

Находим площадь треугольника ABC:

S = (р * (р - AB) * (р - BC) * (p - AC)) = ((17 + 10 + 13) / 2) * ((10 + 13 - 17) / 2) * ((17 + 13 - 10) / 2) * ((10 + 17 - 13) / 2))  = ((17 + 10 + 13) * (10 + 13 - 17) * (17 + 13 - 10) * (10 + 17 - 13)) / 4.

Ответ: площадь данного треугольника сочиняет ((17 + 10 + 13) * (10 + 13 - 17) * (17 + 13 - 10) * (10 + 17 - 13)) / 4.