Докажите, что значение выражения x^2+2y^2+2xy+6y+10 позитивно при всех значениях переменных x

Дано: х + 2 * у + 2 * х * у + 6 * у + 10.

Представим 2-ое слагаемое в последующем виде: 2 * у = у + у, получаем выражение:

х + у + у + 2 * х * у + 6 * у + 10.

Выделим 1-ое, 2-ое и 4-ое слагаемое и получим:

х + у + 2 * х * у = (х + у).

Наше выражение принимает вид:

(х + у) + у + 6 * у + 10.

Так как 6 * у = 2 * 3 * у и 10 = 9 + 1, то получаем:

(х + у) + у + 2 * 3 * у + 9 + 1 = (х + у) + (у + 3) + 1.

Таким образом, наше выражение представляет собой сумму трёх слагаемых, два из которых являются квадратами каких-то чисел, и единицы. То есть все три слагаемые положительны, и их сумма будет положительна при любых х и у.