Решите иррациональное неравенство: x-8x-2(x-8x)3

x^2 - 8x - 2(x^2 - 8x) 3.

Произведем подмену, пусть (x^2 - 8x) = а.

Тогда неравенство будет иметь вид а^2 - 2а  3; а^2 - 2а - 3 0.

Рассмотрим функцию у = а^2 - 2а - 3 , это квадратичная парабола, ветки ввысь.

Найдем нули функции: у = 0; а^2 - 2а - 3  = 0.

Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

a = 1; b = -2; c = -3;

D = b^2 - 4ac; D = (-2)^2 - 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16 (D = 4).

x = (-b D)/2a;

а₁ = (2 - 4)/2 = -1;

а₂ = (2 + 4)/2 = 3.

Отмечаем на числовой прямой точки -1 и 3, схематически рисуем параболу, проходящую через эти точки (ветки ввысь). Неравенство имеет знак 0, означает решением неравенства будет просвет, где парабола находится ниже прямой, то есть [-1; 3].

То есть (1) a gt;= -1 и (2) a lt;= 3.

Возвращаемся к подмене (x^2 - 8x) = а.

1) a gt;= -1.

(x^2 - 8x) gt;= -1.

Возведем неравенство в квадрат:

x^2 - 8x gt; 1; x^2 - 8x - 1 gt;= 0.

Осмотрим функцию у =  x^2 - 8x - 1, это квадратичная парабола, ветки ввысь.

Найдем нули функции: у = 0;  x^2 - 8x - 1 = 0.

D = 64 + 4 = 68 (D = 68 = (4 * 17) = 217).

х₁ = (8 - 217)/2 = 4 - 17;

х₂ = 4 + 17.

Отмечаем на числовой прямой точки (4 - 17) и (4 + 17), схематически живописуем параболу, проходящую через эти точки (ветки ввысь). Неравенство имеет символ gt;= 0, значит решением неравенства будет промежуток, где парабола находится выше прямой, то есть (- ; 4 - 17] и [4 + 17; +).

2) a lt;= 3.

(x^2 - 8x) lt;= 3.

Возведем неравенство в квадрат:

x^2 - 8x lt;= 9; x^2 - 8x - 9 lt;= 0.

Осмотрим функцию у = x^2 - 8x - 9, это квадратичная парабола, ветки вверх.

Найдем нули функции: у = 0; x^2 - 8x - 9 = 0.

D = 64 + 36 = 100 (D = 10);

х₁ = (8 - 10)/2 = -1;

х₂ = (8 + 10)/2 = 9.

Отмечаем на числовой прямой точки -1 и 9, схематически живописуем параболу, проходящую через эти точки (ветки ввысь). Неравенство имеет знак lt;= 0, значит решением неравенства будет просвет, где парабола находится ниже прямой, то есть [-1; 9].

Ответ: х принадлежит промежуткам (-; 4 - 17], [4 + 17; +) и [-1; 9]