1х2+2х3+3х4+...+49х50=

Эту последовательность можно представить в виде суммы квадратов минус сумма членов последовательности: 2 + 3 + 4 +...+ 50;
1 х 2 = 2^2 - 2;
2 х 3 = 3^2 - 3;
...................
49 х 50 = 50^2 - 50;
1 х 2 + 2 х 3 + 3 х 4 +...+ 49 х 50 =
= 2^2 + 3^2 +...+ 50^2 - (2 + 3 + 4 +...+ 50);
Посчитаем эти суммы раздельно:
S1 = 2^2 + 3^2 +...+ 50^2;
Сумма n членов такой последовательности одинакова:
1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = n(n + 1)(2n + 1) / 6;
Доказывается методом математической индукции.

Тогда:
S1 = 50 (50 + 1)(2 х 50 + 1) / 6 - 1 = 42924;
S2 = 2 + 3 + 4 +...+ 50 = ((2 + 50) х 49) / 2 = 1274;
S = S1 - S2 = 42924 - 1274 = 41650.
Ответ: 1 х 2 + 2 х 3 + 3 х 4+...+ 49 х 50 = 41650.