(x^2+6x)^2 +2 (x+3)^2=81

Вторую скобку раскроем, применив формулу квадрата суммы (а + в)^2 = а^2 + 2ав + в^2, где а = х, в = 3.

(х^2 + 6х )^2 + 2(х^2 + 6х + 9) = 81.

Введём новейшую переменную х^2 + 6х = у.

у^2 + 2(у + 9) - 81 = 0;

у^2 + 2у + 18 - 81 = 0;

у^2 + 2у - 63 = 0;

D = b^2 - 4ac;

D = 2^2 - 4 * 1 * (-63) = 4 + 252 = 256; D = 16;

x = (-b D)/(2a);

y1 = (-2 + 16)/2 = 14/2 = 7;

y2 = (-2 - 16)/2 = -18/2 = -9.

Выполним оборотную подстановку.

1) х^2 + 6х = 7;

х^2 + 6х - 7 = 0;

D = 6^2 - 4 * 1 * (-7) = 36 + 28 = 64; D = 8;

x1 = (-6 + 8)/2 = 2/2 = 1;

x2 = (-6 - 8)/2 = -14/2 = -7.

2) x^2 + 6x = -9;

x^2 + 6x + 9 = 0;

D = 6^2 - 4 * 1 * 9 = 36 - 36 = 0.

x3 = -6/2 = -3.

Ответ. -7; -3; 1.

Приведем данное уравнение к виду квадратного

• Для этого сначала преобразуем скобку (x + 3) по формуле квадрата суммы.
• Формула квадрата суммы: (а + b) = a + 2ab + b.
• Как следует, (x + 3) = х + 6х + 9.
• Получается уравнение: (x + 6x) + 2(х + 6х + 9) = 81.

Если приглядеться к уравнению, видно, что выражение (х + 6х) повторяется и в первой, и во 2-ой скобке.

Введем новейшую переменную

Заменим выражение (х + 6х) иной буковкой, к примеру, t.

Вышло уравнение t + 2(t + 9) = 81. Раскрываем оставшуюся скобку: 

t + 2t + 18 = 81. 

t + 2t + 18 - 81 = 0.

t + 2t - 63 = 0.  

Получилось квадратное уравнение, которое решаем с помощью дискриминанта.

a = 1; b = 2; c = -63;

D = b - 4ac; D = 2 - 4 * 1 * (-63) = 4 + 252 = 256 (D = 16);

x = (-b D)/2a;

t₁ = (-2 - 16)/2 = -18/2 = -9.

t₂ = (-2 + 16)/2 = 14/2 = 7.

Вернемся к подмене 

х + 6х = t.

1) t = -9; х + 6х = -9; х + 6х + 9 = 0.

Решаем новое квадратное уравнение с поддержкою дискриминанта.

D = 36 - 36 = 0 (один корень).

х = (-6)/2 = -3.

2) t = 7;  х + 6х = 7; х + 6х - 7 = 0.

D = 36 + 28 = 64 (D = 8);

х₁ = (-6 - 8)/2 = -14/2 = -7.

х₂ = (-6 + 8)/2 = 2/2 = 1.

Ответ: корешки уравнения одинаковы -7, -3 и 1.

Проверим корректность нахождения корней:

(x + 6x) + 2(х + 3) = 81.

1) x = -7.

((-7) + 6 * (-7)) + 2(-7 + 3) = 81.

(49 - 42) + 2 * (-4) = 81.

49 + 32 = 81 (правильно).

2) х = -3.

((-3) + 6 * (-3)) + 2(-3 + 3) = 81.

(9 - 18) + 2 * 0 = 81.

(-9) = 81 (правильно).

3) х = 1.

(1 + 6 * 1) + 2(1 + 3) = 81.

7 + 2 * 4 = 81.

49 + 32 = 81 (верно).