Найдите сумму 6 первых членов геометрической прогрессии если b2=4 иb4=1

Дано: b_n геометрическая прогрессия;

b₂ = 4, b₄ = 1;

Отыскать: S₆ - ?

Формула члена геометрической прогрессии: b_n = b₁ * q^(n 1),

где b₁ первый член геометрической прогрессии, q её знаменатель, n количество членов прогрессии.

Запишем с помощью этой формулы второй и четвёртый члены заданной прогрессии:

b₂ = b₁ * q^(2 1) = b₁ * q;

b₄ = b₁ * q^(4 1) = b₁ * q^3.

Т.о., можем составить и решить систему линейных уравнений:

b₁ * q = 4,                        (1)

b₁ * q^3 = 1                     (2)

Выразим из (1) уравнения системы b₁:

b₁ = 4 : q.

Подставим данное выражение во (2) уравнение системы:

4 : q * q^3 = 1;

4 * q^2 = 1;

q^2 = 1/4;

q = 1/2.

Исходя из того, что четвёртый член прогрессии меньше второго, делаем вывод о том, что заданная прогрессия - убывающая с положительным знаменателем q.

Сумма первых n членов геометрической прогрессии находится по формуле:

S_n = (b_n * q b₁) / (q 1);

6-ой член прогрессии вычислим, как: b₆ = b₁ * q^5 = 8 * (1/2)^5 = 0,25.

Т.о. S₆ = (b₆ * q b₁) / (q 1) = (0,25 * (1/2) 8) / ((1/2) 1) = (0,125 8) / (-0,5) = 15,75.

Ответ: S₆ = 15,75.