Вышина АД остроугольного треугольника АВС разбивает его основание на два отрезка

Осмотрим треугольник АВС с высотами АД и ВК, опущенными на стороны ВС и АС.

Обозначим точку пересечения высот через О.

По условию задачки известно, что:

ВД = 8, ДС = 9 и АО = ДО.

Рассмотрим треугольник ВОД. Явно, что он прямоугольный.

Как следует, имеем:

ДО = ВД * tg(ОВД) = 8 * tg(ОВД).

Заметим, что углы ОВД = ДАС, т.к. треугольники АСД, ВКС - прямоугольные и у их общий угол АСВ.

Как следует, имеем:

ДС = АД * tg(ДАС),

9 = 2 * ДО * tg(ОВД) = 2 * 8 * tg^2(ОВД),

tg(ОВД) = 3/4. Отсюда получаем:

9 = АД * 3/4,

АД = 12.

Ответ: АД = 12.