сумма первых 4 членов арифметической прогрессии в пять раз меньше суммы

Пусть а1 первый член данной арифметической прогрессии, d ее разность. По формуле суммы арифметической прогрессии:

S4 = (a1 + 3d) / 2 * 4 = 2a1 + 6d;

S5_12 = S12 - S4 = (a1 + 11d) / 2 * 12 - (2a1 + 6d) =
= (a1 + 11d) * 6 - (2a1 + 6d) = 6a1 + 66d - 2a1 - 6d = 4a1 + 60d.

По условию задачки 5 * S4 = S5_12:

5 * (2а1 + 6d) = 4a1 + 60d;

10а1 + 30d = 4a1 + 60d;

6а1 = 30d;

а1 = 5d.

Найдем отношение суммы первых 8 членов данной прогрессии к сумме первых 4:

S8/S4 = ((a1 + 7d) / 2 * 8) / (2a1 + 6d) =
= (4a1 + 28d)/(2a1 + 6d) = (2a1 + 14d) / (a1 + 3d) =
= (2 * 5d + 14d) / (5d + 3d) = 24d / (8d) = 3.

Ответ: отношение суммы первых 8 членов прогрессии к сумме первых четырех одинаково 3.