Найти количество корней уравнения cos2x-cos8x=sin5x на интервале [0;Пи]

1. К левой части данного уравнения применим формулу cos cos = 2 * sin(( + ) / 2) * sin(( ) / 2), который называется разность косинусов. Тогда, получим: 2 * sin(5 * x) * sin(3 * x) = sin(5 * x).
2. Заключительное уравнение перепишем в виде sin(5 * x) * (2 * sin(3 * x) 1) = 0, которое дозволяет получить два уравнения: sin(5 * x) = 0 и sin(3 * x) = . Решим оба уравнения.
3. Решим, сначала, уравнение sin(5 * x) = 0. Это уравнение имеет корни 5 * х = * k (где k целое число), откуда х = ( / 5) * k.
4. Подобно, решим  уравнение sin(3 * x) = . Это уравнение имеет корешки 3 * х = ( / 6) + 2 * * m (где m целое число) и 3 * х = ((5 * ) / 6) + 2 * * n (где n целое число), откуда х = ( / 18) + (2 * / 3) * m и х = ((5 * ) / 18) + (2 * / 3) * n.
5. По требованию задания, определим количество корней данного уравнения, расположенных на интервале [0; ]. Иными словами, определим те значения k, m и n, для которых 0 х .
6. Для первой группы корней, имеем 0 ( / 5) * k , откуда 0 k 5, то есть при k = 0, 1, 2, 3, 4 и 5 получаем 6 корней, расположенных на интервале [0; ]: 0; / 5; (2 * ) / 5; (3 * ) / 5; (4 * ) / 5; .
7. Аналогично, для второй группы корней имеем 0 ( / 18) + (2 * / 3) * m и 0 ((5 * ) / 18) + (2 * / 3) * n , откуда 1/12 m 17/12 и 5/12 n 13/12. Как следует, при m = 0 и 1, а также при n = 0 и 1 получаем корешки данного уравнения (пока про количество корней тяжело что-или сказать). Определим эти корешки. При m = 0 и 1 имеем / 18 и ( / 18) + (2 * / 3) = (13 * ) / 18. Подобно, при n = 0 и 1 имеем (5 * ) / 18 и (5 * ) / 18 + (2 * / 3) = (17 * ) / 18. Сейчас стало ясно эти корешки (их 4) не совпадают с предыдущими 6 корнями и меж собой.
8. Таким образом, всего 6 + 4 = 10 корней данного уравнения расположены на промежутке [0; ]. Перечислим все 10 корней из промежутка [0; ] по порядку возрастания: 0; / 18; / 5; (5 * ) / 18; (2 * ) / 5; (3 * ) / 5; (13 * ) / 18; (4 * ) / 5; (17 * ) / 18; .

Ответ: 10.