Существует ли полиэдр с нечетным числом граней, любая из которых есть

Докажем, что таковой фигуры не существует.

Для этого подсчитаем кол-во ребер (сторон) в данной фигуре.

Обозначим за S - кол-во ребер.

Явно, что S обязано быть натуральным числом.

Осмотрим иную величину A, которая одинакова сумме сторон на каждой гране.

Тогда обязано выполнятся соотношение S = A / 2 (так как каждое ребро мы учли дважды).

Но число A является нечетным, так как оно содержит нечетное количество нечетных слагаемых (нечетное кол-во граней, которые имеют нечетное кол-во сторон).

Значит из соотношения S - нецелое, что невозможно.