Обосновать методом математической индукции что 5^n+1 + 2^3n делится на 3

Осмотрим выражение:

S(n) = 5^(n + 1) + 2^(3 * n).

При n = 0 получаем:

S(0) = 5^(0 + 1) + 2^(3 * 0) = 5 + 1 = 6.

Как следует, при n = 0 имеем S(0) = 6 и делится на 6.

Предположим, что утверждение доказано для любого n lt;= k.

Осмотрим

S(k + 1) = 5^(k + 1 + 1) + 2^(3 * (k + 1)) =

= 5 * 5^(k + 1) + 8 * 2^(3 * k) =

= 5 * (5^(k + 1) + 2^(3 * k)) + 3 * 2^(3 * k) =

= 5 * S(k) + 3 * 2^(3 * k).

По предположению индукции имеем, что:

S(k) = 3 * p, где p - естественное число.

Как следует,

S(k + 1) = 3 * (5 * p + 2^(3 * k)) и делится на 3, что и требовалось обосновать.