В таблицу, состоящую из n строк и m столбцов, записаны числа

По условию задачи, таблица состоит из n строк и m столбцов и сумма  элементов в каждой строке 1248, а сумма частей в каждом столбце 2184. 

Подсчитаем сумму S всех элементов в таблице по строкам и по столбцам:

S = 1248 * n = 2148 * m.

Разложим коэффициенты на множители:

1248 * n = 2148 * m,

13 * 24 * 4 * n = 24 * 7 * 13 * m,

4 * n = 7 * m.

Так как, 4 и 7 обоюдно обыкновенные, то:

n = 7 * k, где к - натуральное число, а

m = 4 * l, где l - естественное число.

Рассмотрим выражение:

2 * n - 3 * m = 14 * k - 12 * l = 2 * (7 * k - 6 * l)

Так как, нам нужно найти наименьшее значение этого выражения, то, очевидно, что малое значение 2 достигается при:

7 * k - 6 * l = 1.

Получили, так именуемое, диафантово уравнение.

Одно решение k = 1, l = 1 и n = 7, m = 4 и m + n = 11.

В общем виде решения записываются:

к = 6 * p + 1, l = 7 * q + 1, где p, q -целые числа и 

n = 42 * p + 7, m = 28 * q + 4.

m + n = 42 * p + 28 * q + 11.

Ответ: m + n = 11