При каких естественных n число (n +1)(4n -128)+ 961 является квадратом?

Имеем выражение:

(n + 1) * (4 * n - 128) + 961.

Выражение представляет собой сумму произведения 2-ух множителей с переменной в составе и числа 961.

Сходу отметим, что число 961 является квадратом естественного числа. Можно сходу определить значения n, при которых 1-ое слагаемое будет равно нулю, и условия задачки выполнятся.

1) n + 1 = 0;

n = -1 - число не натуральное.

2) 4 * n - 128 = 0;

4 * n = 128;

n = 32 - натуральное число.

Ответ: n = 32.