1) (2x^2-32x+32)*е^x+32 Отыскать точку максимума 2)(x^3/2)-9x+19 найти меньшее значение на интервале

1) Что бы отыскать точку максимума функции y = (2x² - 32 x + 32) * e^x + 32, используем производную;

y(x) = (2x² - 32 x + 32) * e^x + (2x² - 32x + 32) * (e^x) = (4x - 32) * e^x  + (2x² - 32x + 32) *  e^x  = = e^x(4x - 32 + 2x² - 32x + 32) = e^x(2x² - 28x) = 2e^x * x(x - 14);

Решим уравнение y (x) = 0;

2e^x * x * (x - 14) = 0; e^x gt; 0 при всех х;  тогда остается что 2x * (14 - x) = 0;

x₁ = 0; x₂ = 14 критичные точки. Эти точки разбили область определения функции на несколько промежутков: (-; 0); (0; 14) и (14; ). Получили 3 области.

Определим знаки производной справа от точки 14. Примем х = 15.

y (15) = 2e¹⁵ * 15 * (1) = 30*e¹⁵gt; 0.

Сейчас примем х = 1, y (1) = 2e¹ * 1* (1 - 14) = -13e lt;0.

Выходит, что 14 - это точка, в которой производная меняет символ с плюса на минус, значить эта точка максимума.

Ответ: х = 14.

1. Для функции: y = x^(3/2) - 9x + 19 найдем производную.

y(x) = 3/2 * x ^{(3/2 - 1)} 9 = 3/2 * x^(1/2) - 9 = (3x)/2  -  9; 

Решим уравнение y(x) = 0.  (3x)/2  - 9 = 0 (3x)/2 = 9 x/2 = 3 x = 6 x = 6²;

 Выходит x = 36 является единственной критичной точкой.

Проверим знак производной слева от точки x = 36, к примеру в точке х = 0.

y (0) = 3 * 0/2 - 9 = - 9 lt;0. y(64) = 3 * 64/2 - 9 = 3 * 4 9 = 12 9 = 3gt; 0.

Производная поменяла символ с минуса на плюс, то есть х = 36 - точка минимума. Подставим в формулу функции значение х = 36 и найдем меньшее значение функции.

y(наим)=36^(3/2) 9 * 36 + 19 = 6³ - 324 + 19 = 216 - 324 + 19 = - 89.