F(x)=(2x+3)2-x. Отыскать область значения, определения. Возрастание и убывание функции. Нули функции.

Область определения функции (-, +), потому что для всех значений переменной допустимы имеющиеся операции. Область значений также будет вся числовая прямая.

Для нахождения нулей функция решим уравнение (2x + 3) * 2 - x = 0. Корнями этого уравнения видно будут значения: x₁ = -3/2;  x₂ = 2.

Функция f(x) = (2x + 3) * 2 - x будет иметь два вида.

При x 2:  а) f(x) = (2x + 3)(2 - x) = 4x + 6 - 2x² - 3x = -2x² + x + 6,  

и при x gt; 2: б) f(x) = (2x + 3)(x - 2) = 2x² + 3x - 4x - 6 = 2x² - x - 6.

Исследуем функцию на монотонность в обеих случаях. Для определения интервалов возрастания и убывания найдем производную и критичные точки.

а). При x 2,  f (x) = (-2x² + x + 6) = -4x + 1 = 0;  x₁ = 1/4;

Обретаем значение функции в критичной точке:

f(1/4) = (1/2 + 3)(2 -1/4) = 7/2 * 7/4 = 49/8 = 6,125.

При x lt;1/4  -  f(x) gt; 0, функция подрастает. При 1/4 lt; x 2,  f(x) lt; 0, функция убывает.

Это точка максимума.

б). При x gt; 2: f (x) = 4x - 1 = 0; x₂ = 1/4 lt; 2, потому при x gt; 2 экстремумов нет.

Функция всюду подрастает.