Для роли в каждогодней эстафете выбраны 3 девушки и 7 юношей.

Так как юноши должны начинать и заканчивать эстафету, значит с обоих концов обязано быть желая бы по 1 юноше. Таким образом, закрепляем на позиции 1 и на позиции 10 по 1 юноше.

Таких методов закрепить по 2 юноши из 7 будет А(2,7) = 7! / (7-2)! = 42.

В середине подборки юношей и девушек будут находиться 3 девушки и 5 юношей. Всего 8 человек. Вариантов расстановки существует 8! = 40320.

Общее число методов = А(2,7) * 8! = 42 * 40320 = 1693440.

Ответ: существует 1 693 440 способов расстановки юношей и женщин.