1)Написать уравнение касательной y=f(x)=x^2,x0=1 2)Найти промежутки монотонности: y=x^2-5x+4

1) Уравнение касательной имеет вид у = f(x₀) + f(x₀)(x - x₀).

Так как f(x) = x, вычислим значение функции в точке x₀ = 1.

f(x₀) = f(1) = 1 = 1.

Найдем производную данной функции;

f(x) = 2x;

f(x₀) = f(1) = 1 = 1.

Подставляем отысканные значения в формулу уравнения касательной:

у = f(x₀) + f(x₀)(x - x₀) = 1 + 1(х - 1) = 1 + х - 1 = х.

Ответ: уравнение касательной имеет вид у = х.

2) Найдем производную данной в задании функции:

y = x - 5x + 4.

у = 2х - 5.

Найдем нули производной, для этого приравняем ее к нулю:

у = 0; 2х - 5 = 0.

2х = 5.

х = 2,5.

Определим знаки производной на каждом интервале, для этого подставим хоть какое число из промежутка в производную и определим символ выражения.

(-; 2,5) пусть х = 0; у(0) = 2 * 0 - 5 = -5 (минус).

(2,5; +) пусть х = 3; у(3) = 2 * 3 - 5 = 1 (плюс).

Если производная плюс, то функция вырастает, если производная минус, то функция убывает.

Ответ: функция возрастает на интервале (2,5; +), а убывает на интервале (-; 2,5).