Решить 4sin^4x+cos4x=1+12 cos^4x

1. Применяя формулу 2 * sin² = 1 cos(2 * ) и формулу сокращенного умножения (a b)² = a² 2 * a * b + b² (квадрат разности), получим: 4 * sin⁴x = (2 * sin²x)² = (1 cos(2 * х))² = 1 2 * cos(2 * х) + cos²(2 * х).
2. Подобно, применяя формулу 2 * cos² = 1 + cos(2 * ) и формулу сокращенного умножения (a + b)² = a² + 2 * a * b + b² (квадрат суммы), получим: 12 * cos⁴x = 3 * (2 * cos²x)² = 3 * (1 + cos(2 * х))² = 3 + 3 * 2 * cos(2 * х) + 3 * cos²(2 * х) = 3 + 6 * cos(2 * х) + 3 * cos²(2 * х).
3. Воспользуемся формулой cos(2 * ) = cos² sin² (косинус двойного угла), которую перепишем, используя формулу sin² + cos² = 1 (основное тригонометрическое тождество), в виде: cos(2 * ) = 2 * cos² 1. Тогда имеем: cos(4 * x) = cos(2 * 2 * x) = 2 * cos²(2 * х) 1.
4. Все приобретенные выражения подставим на свои места в данном уравнении. Тогда имеем: 1 2 * cos(2 * х) + cos²(2 * х) + 2 * cos²(2 * х) 1 = 1 + 3 + 6 * cos(2 * х) + 3 * cos²(2 * х) либо 8 * cos(2 * х) = 4, откуда cos(2 * х) = 1/2.
5. Это простейшее тригонометрическое уравнение имеет последующие две серии решений: 2 * х = 120 + 360 * n, где n целое число; 2 * х = 120 + 360 * m, где m целое число. Как следует, решениями данного уравнения являются: х = 60 + 180 * n и х = 60 + 180 * m, где n и m целые числа.

Ответ: Решениями данного уравнения являются: х = 60 + 180 * n и х = 60 + 180 * m, где n и m целые числа.