2sinx*cosx+4cos^2x=1 sin2x-cosx=0 cos^2x-sin^2x=2cosx-1

1. 2sinx * cosx + 4cos²x = 1;

Перенесем 1 в левую часть и распишем по главному тригонометрическому тождеству:

2sinxcosx + 4cos²x - sin²x - cos²x = 0;

2sinxcosx + 3cos²x - sin²x = 0;

Разделяем каждый член на cos²x:

2tgx + 3 - tg²x = 0;

Разделим на -1:

tg²x - 2tgx - 3 = 0;

D = 4 + 12 = 16;

tgx = (2 +- 4)/2;

tgx = 3, tgx = -1;

x1 = arctg3 + pin, n  Z;

x2 = arctg(-1) + pin, n  Z;

x2 = -pi/4 + pin, n  Z;

Ответ: arctg3 + pin, n  Z; -pi/4 + pin, n  Z.

2. sin2x - cosx = 0;

Распишем синус по формуле двойного угла:

2sinxcosx - cosx = 0;

Разделим на косинус:

2sinx - 1 = 0;

2sinx = 1;

sinx = 1/2;

x = (-1)ⁿpi/6 + pin, n  Z.

Ответ: (-1)ⁿpi/6 + pin, n  Z.

3. cos²x - sin²x = 2cosx - 1;

Распишем 1 по главному тригонометрическому тождеству и перенесем все из правой доли в левую часть:

cos²x - sin²x - 2cosx + 1 = 0;

cos²x - sin²x - 2cosx + cos²x + sin²x = 0;

2cos²x - 2cosx = 0;

cosx(cosx - 1) = 0;

cosx = 0 или cosx - 1 = 0;

x = pi/2 + pin, n  Z;

cosx = 1;

x = 2pin,  n  Z.

Ответ: pi/2 + pin, n  Z; 2pin,  n  Z.