Творение первого, третьего и пятого членов безгранично убывающей геометрической прогрессии одинаково

Выразим все члены геометрической прогрессии через её первый член b₁ и знаменатель q.

b₂ = b₁ * q.

b₃= b₁ * q².

b₄ = b₁ * q³.

b₅ = b₁ * q⁴.

Подставим выражения в начальную систему уравнений.

b₁ * b₃ * b₅ = 8;

b₂ + b₄ = - 5. 

b₁ * b₁ * q² * b₁ * q⁴ = 8;

b₁ * q + b₁ * q³ = - 5.

Из первого равенства следует:

b₁³ * q⁶ = 8.

(b₁ * q²)³ = 2³.

b₁ * q² = 2.

b₁ = 2/q².

Вынесем за скобки сомножитель b₁ * q во втором уравнении.

b₁ * q * (1 + q²) = - 5.

Подставим значение b₁ = 2/q².

2/q² * q * (1 + q²) = - 5.

2(1 + q²) = - 5 * q.

Раскроем скобки и решим уравнение условно q.

2q² + 5q + 2 = 0.

q_1,2 = (- 5 +/- (25 4 * 2 *2))/2 * 2.

q_1,2 = (- 5 +/- (25 16))/4.

q_1,2 = (- 5 +/- 3)/4.

q₁ = (- 5 + 3)/4 = - 1/2.

q₂ = (- 5 3)/4 = - 2.

2-ой корень не удовлетворяет условию прогрессия бесконечно убывает при q lt; 1.

Найдём 1-ый член b₁ = 2/q² = 2/(- 1/2)² = 2 * 4 = 8.

Найдём сумму геометрической прогрессии.

S_n = b₁/(1 q) = 8/(1 (- 1/2)) = 8/(1 + 1/2) = 8 : 3/2 = 8 * 2/3 = 16/3.

Ответ: S_n = 16/3.