отыскать экстремум функции z=x^2+y^2-8x-2

1. Осмотрим функцию 2-ух переменных z = x + y - 8 * x - 2. По требованию задания, найдём экстремумы функции (если таковые есть).
2. На исходном шаге решения, необходимо отыскать стационарные точки. Для этого найдём приватные производные 1-го порядка. При нахождении z/x считаем аргумент y неизменным: z/x = (x + y - 8 * x - 2)/x = 2 * x - 8. При нахождении z/y считаем аргумент x постоянным: z/y = (x + y - 8 * x - 2)/y = 2 * y.
3. Приравнивая отысканные 1-ые производные к нулю, решим систему 2 * x - 8 = 0, 2 * y = 0. В данном случае получена система 2-ух линейных уравнений с двумя неведомыми, которую можно решить несколькими методами. Несложно убедиться, что она имеет решение х = 4, у = 0 Таким образом, отыскали одну стационарную точку М(4; 0).
4. Сейчас необходимо проверить достаточное условие экстремума функции 2-ух переменных, для применения которого нужно вычислить частные производные 2-го порядка в точке М. Введём последующие обозначения: A = z/x(M), B = z/xy(M) и С = z/y(М). Вычислим: z/x = (2 * x - 8)/x = 2, означает, A = 2. Подобно, z/xy = (2 * y)/x = (2 * x - 8)/у = 0, означает, В = 0. Наконец, z/y = (2 * y)/у = 2, означает, С = 2.
5. Вычислим: А * С - В = 2 * 2 0 = 4 0 = 4. Так как А * С - В = 4 gt; 0, то в точке M есть экстремум, и так как A gt;0, то это минимум. Осталось его отыскать. Вычислим: z(М) = 4 + 0 - 8 * 4 2 = 16 32 2 = -18.

Ответ: Функция z = x + y - 8 * x - 2 имеет одну экстремальную точку (4; 0), где достигается минимум и z_мин = -18.