Решите систему уравнений: ab = 60 a^2 + b^2 = 169

1. Рассмотрим систему уравнений: a * b = 60, a + b = 169. Умножим обе доли первого уравнения на 2 и найдём алгебраическую сумму полученного и второго уравнений. Тогда имеем a + 2 * a * b + b = 2 * 60 + 169. Воспользуемся формулой сокращенного умножения (a + b)² = a² + 2 * a * b + b² (квадрат суммы). Имеем: (a + b) = 289.
2. Явно, что заключительнее равенство выполнится если: А) a + b = 17 либо Б) a + b = 17. Осмотрим каждый случай по отдельности.
3. А) Пусть a + b = 17. Тогда это равенство и равенство a * b = 60, на основе аксиомы Виета, дают право утверждать, что a и b являются корнями квадратного уравнения х 17 * х + 60 = 0. Решим это уравнение. Найдем дискриминант квадратного уравнения: D = (17) 4 * 1 * 60 = 289 240 = 49. Так как дискриминант больше нуля то, квадратное уравнение имеет два реальных корня: x₁ = (17 (49)) / (2 * 1) = (17 7) / 2 = 10/2 = 5 и x₂ = (17 + (49)) / (2 * 1) = (17 + 7) / 2  = 24/2 = 12. Как следует, получаем две пары решений данного уравнения: (a; b) = (5; 12) и (a; b) = (12; 5).
4. Б) Пусть a + b = 17. Аналогично предшествующему пт, составим квадратное уравнение у + 17 * у + 60 = 0. Найдем дискриминант квадратного уравнения: D = 17 4 * 1 * 60 = 289 240 = 49. Так как дискриминант больше нуля то, это квадратное уравнение также имеет два реальных корня: у₁ = (17 (49)) / (2 * 1) = (17 7) / 2 = 24/2 = 12 и у₂ = (17 + (49)) / (2 * 1) = (17 + 7) / 2  = 10/2 = 5. Как следует, получаем ещё две пары решений данного уравнения: (a; b) = (5; 12) и (a; b) = (12; 5).

Ответ: (a; b) = (5; 12); (a; b) = (12; 5); (a; b) = (5; 12) и (a; b) = (12; 5).