19. Будем нарекать четырёхзначное число очень счастливым, если все числа в

а) Примером таких чисел являются 5014, 5015, , 5033. Очень счастливыми посреди них являются числа 5014, 5023 и 5032.

б) Представим, что это возможно. Пусть   десятичная запись меньшего из этих 2-ух очень счастливых чисел, а   десятичная запись большего из их. Из условия следует, что или 10с + d + 16 = 10m + n, либо 10c + d + 16 = 100 + 10m + n. Отсюда получаем, что или (m + n)  (c + d) = 9(c  m + 1) + 7, либо (m + n)  (c + d) = 9(c  m  10) + 6. Значит, число (m + n)  (c + d) даёт при дроблении на 9 либо остаток 7, либо остаток 6.

Также из условия следует, что или 1000a + 100b + 2000 = 1000k + 100l, или 1000a + 100b + 2100 = 1000k + 100l.

Отсюда получаем, что или (k + l)  (a + b) = 9(a  k + 2) + 2 , или (k + l)  (a + b) = 9(a  k + 2) + 3. Значит, число (k + l)  (a + b) даёт при разделеньи на 9 либо остаток 2, или остаток 3. Прибываем к противоречию, так как по условию (k + l)  (a + b) = (m + n)  (c + d).

в) Покажем, что разыскиваемое число одинаково 11. Для этого сначала приведём примеры очень счастливых четырёхзначных чисел кратных 2, 3, 5 и 7: число 2680 кратно 2 и 5; число 1890 кратно 3 и 7.

Пусть   десятичная запись какого-либо очень счастливого числа, кратного 11. Тогда

 Получаем, что число b  a + d  c кратно 11. Так как a , b, c и d  цифры, отсюда следует, что либо b  a + d  c = 0, либо b  a + d  c = 11, или b  a + d  c = 11.

В первом случае имеем a + b = c + d и a + c = b + d. Вычитая эти равенства, получаем b  c = c  b, т. е. b = c,  противоречие. Во втором случае имеем a + b = c + d и a + c + 11 = b + d. Вычитая эти равенства, получаем b  c  11 = c  b, т. е. 2(b  c) = 11, тоже противоречие, так как 11 не кратно 2. Аналогичное противоречие выходит и в 3-ем случае. Означает, не существует очень счастливых четырёхзначных чисел, кратных 11.

Ответ: а) Да, например, 5014, 5015, , 5033; б) нет; в) 11.