10^x+11^x+12^x=13^x+14^x

1. До этого всего, заметим, что данное уравнение относится к особым показательным уравнениям. Необыкновенность уравнения 10^x + 11^x + 12^x = 13^x + 14^x заключается в том, что метод приведения всех ступеней к единичной базе либо логарифмирование здесь малосильны, так как обе части уравнения представляют собой суммы. как следует, необходимо придумать нечто оригинальное.
2. Попытаемся, используя характеристики показательной функции, как-то подобрать ключ к решению данного уравнения. Поделим обе части данного уравнения на 12^x. Тогда, имеем: (10/12)^x + (11/12)^x + (12/12)^x = (13/12)^x + (14/12)^x либо (5/6)^x + (11/12)^x + 1 = (13/12)^x + (7/6)^x.
3. Просто увидеть, что при х = 0, левая часть уравнения одинакова 3, а правая 2, не считая того 3 gt; 2.
4. Поскольку обе ступени, расположенные в левой доли уравнения, имеют положительные и наименьшие чем 1 основания, то функция у_L(х) = (5/6)^x + (11/12)^x + 1 является взыскательно убывающей функцией. Подобно, так как обе ступени, расположенные в правой части уравнения, имеют великие чем 1 основания, то функция у_R(х)= (13/12)^x + (7/6)^x является требовательно вырастающей функцией. То есть, великая сторона уменьшается, а наименьшая сторона возрастает.
5. Очевидно, что увеличивая значение безызвестной х, можно найти такое её значение, при котором обе стороны уравнения примут одинаковые значения. Единственность такового значения х также явна.
6. Попробуем значение х = 1. Имеем: у_L(1) = (5/6)¹ + (11/12)¹ + 1 = (10 + 11 + 12) / 12 = 33/12 = 2,75 и у_R(1)= (13/12)¹ + (7/6)¹ = (13 + 14) / 12 = 27/12 = 2,25. Разность значений при х = 0 была равна 3 2 = 1, она при х = 1 уменьшилась и стала одинаковой 2,75 2,25 = 0,5.
7. Сейчас попробуем значение х = 2. Имеем: у_L(2) = (5/6)² + (11/12)² + 1 = (25 * 4 + 121 + 144) / 144 = 365/144 = 2⁷⁷/₁₄₄ и у_R(2)= (13/12)² + (7/6)² = (169 + 49 * 4) / 144 = 365/144 = 2⁷⁷/₁₄₄. Прекрасно! Уравнение решено.

Ответ: х = 2.