Решите уравнение log4(25^(x+3) - 1) = 1 + log4(5^(x+3) + 1)

1. Преобразуем числовой коэффициент справа в логарифм:

log ₄ (25^(x+3) - 1) = 1 + log ₄ (5^{(х + 3)} + 1)

1 = log ₄4;

log ₄ (25^(x+3) - 1) = log ₄4 + log ₄ (5^{(х + 3)} + 1);

2. Основания логарифмов одинаковы, потому воспользуемся свойством творенья логарифма:

log ₄ (25^(x+3) - 1) = log ₄ 4 * (5^{(х + 3)} + 1);

3. Из равенства основания логарифмов следует:

25^(x+3) - 1 = 4 * (5^{(х + 3)} + 1);

4. Чтобы решить показательное уравнение, воспользуемся качествами ступени:

5^2(x+3) - 1 = 4 * 5^{(х + 3)} + 4;

5^2x+6 - 1 = 4 * 5^{х + 3} + 4;

56 * 5^2x - 1 = 4 * 53 * 5^х  + 4;

5 6 * 5^2x - 1 - 4 * 5 3 * 5^х  - 4 = 0;

56 * 5^2x - 4 * 53 * 5^х  - 5 = 0;

Разделим на 5:

55 * 5^2x - 4 * 5 * 5^х  - 1 = 0;

5. Выполним подмену:

5^х  = у, у gt;0;

3125у - 100y - 1 = 0;

6. Найдем корешки, решив квадратное уравнение:

Вычислим  дискриминант:

D = b - 4ac = ( - 100) - 4 * 3125 *( - 1) = 10000 + 12500 = 22500;

D 0, значит:

у1 = ( - b - D) / 2a = (100 - 22500) / 2 * 3125 = (100 - 150) / 6250 = - 50/6250, не подходит по условию подмены;

у2 = ( - b + D) / 2a = (100 + 22500) / 2 * 3125 = (100 + 150) / 6250 = 250/6250 = 1/25;

1. Найдем х:

5^х  = у; 

Если у = 1/25, то:

5^х  = 1/25;

5^х  = 25^{( - 1)};

5^х  = 5^{( - 2)};

х = - 2;

Ответ: х = - 2.