Найдите производную 1/x^2+1

Если имеется в виду сумма дроби и числа, то прежде, чем брать производную, преобразуем выражение:

f (x) = (1 / х²) + 1 = х^-2 + 1;

f (x) = (х^-2 + 1) = (х^-2) + (1) = -2 * х^{-2 - 1} + 0 = -2 * х^-3 = -2 / х³.

Если имелась в виду дробь:

f (x) = 1 / (х² + 1);

Воспользуемся правилом дифференцирования дробей, вспомнив при этом, что производная от const всегда одинакова нулю, а производная от переменной в ступени сочиняет творение множителя, равного начальной ступени на переменную в ступени, уменьшенной на единицу. Вспомним правило взятия производной от дроби:

(u / v) = u * v - u * v / v²;

Тогда:

f (x) = (1) * (х² + 1) - 1 * (х² + 1)/(х² + 1)² = 0 * (х² + 1) - 1 * (2 * x + 0) / (х² + 1)² = - 2 * x / (х² + 1)².