Найдите область определения функции f(x)=sqrt(3tg x- tg^2 x - 2 )

Все выражение имеет смысл, если выражение под знаком корня не воспринимает отрицательных значений. Таким образом, имеем неравенство: 3tg(x)- tg(x) - 2  0.

Пусть tg(x) = z, тогда: 3z - z - 2  0, что равносильно z - 3z + 2 0.

Найдем нули функции. D = 3 - 4 * 2 = 9 - 8 = 1

z1 = (3 - 1) / (2 * 1) = (3 - 1) / 2 = 2 / 2 = 1.

z2 = (3 + 1) / (2 * 1) = (3 + 1) / 2 = 4 / 2 = 2.

Найдем знаки функции на интервалах (-; 1), [1; 2] и (2; ):

при z = 0: 0 - 3 * 0 + 2 = 2 gt; 0.

при z = 1,5: 1,5 - 3 * 1,5 + 2 = 2,25 - 4,5 + 2 = 4,25 - 4,5 lt; 0.

при z = 3: 3 - 3 * 3 + 2 = 9 - 9 + 2 = 2 gt; 0.

То есть неравенство z - 3z + 2 0 справедливо при z  [1; 2], что равносильно 1  z  2.

Отсюда имеем 1  tg(x) 2.

Воспользовавшись свойством монотонности тангенса на участке от -пи/2 до +пи/2 получаем: arctg(1)  x  arctg(2).

Но так как тангенс - повторяющаяся функция с периодом пи, получаем:

arctg(1) + пи * n x  arctg(2) + пи * n, где n - целое.

Ответ: x  [arctg(1) + пи * n; arctg(2) + пи * n], где n  Z.