Решить возвратимое уравнение: 78х4 133х3 + 78х2 133х +

1. Рассмотрим уравнение 78 * х⁴ 133 * х + 78 * х 133 * х + 78 = 0. Это уравнение является возвратным уравнением 4-ой ступени. Разделим его на x. В итоге получится уравнение 78 * х 133 * х + 78 133 * (1 / х) + 78 * (1 / х) = 0.
2. Преобразуем левую часть полученного уравнения следующим образом: 78 * х 133 * х + 78 133 * (1 / х) + 78 * (1 / х) = (78 * х + 78 * (1 / х)) + (133 * х 133 * (1 / х)) + 78 = 78 * (х + 2 + 1 / х 2) 133 * (х + 1 / х) + 78 = 78 * (1 + 1 / х) 78 * 2 133 * (х + 1 / х) + 78 = 78 * (1 + 1 / х) 133 * (х + 1 / х) 78. Тогда, получим: 78 * (1 + 1 / х) 133 * (х + 1 / х) 78 = 0.
3. Если введём обозначение у = х + 1 / х, то заключительное уравнение станет квадратным уравнением 78 * у 133 * у + 78 = 0. Решим это уравнение. Вычислим его дискриминант: D = = (133) 4 * 78 * (78) = 17689 + 24336 = 42025. Так как дискриминант больше нуля, то квадратное уравнение имеет два реальных корня. Вычислим их: у₁ = (133 (42025)) / (2 * 78) = (133 205) / 156 =  72/156  = 6/13 и у₂ = (133 + (42025)) / (2 * 78) = (133 + 205) / 156  =  338/156  = 13/6. Рассмотрим каждый корень по отдельности.
4. При у = 6/13, имеем: х + 1 / х = 6/13 либо 13 * х + 13 = 6 * х, откуда 13 * х + 6 * х + 13 = 0. Решим приобретенное квадратное уравнение. Найдем его дискриминант: D₁ = 6 4 * 13 * 13 = 36 676 = 640. Так как дискриминант меньше нуля, то последнее уравнение не имеет действительных решений.
5. При у = 13/6, имеем: х + 1 / х = 13/6 либо 6 * х + 6 = 13 * х, откуда 6 * х 13 * х + 6 = 0. Решим приобретенное квадратное уравнение. Найдем его дискриминант: D₂ = 13 4 * 6 * 6 = 169 144 = 25. Так как дискриминант больше нуля, то квадратное уравнение имеет два действительных корня: x₁ = (13 (25)) / (2 * 6) = (13 5) / 12 = 8/12  =  2/3 и x₂ =  (13 + (25)) / (2 * 6) = (13 + 5) / 12 = 18/12  =  3/2.

Ответ: х = 2/3; х = 3/2.