найти область сходимости степенного ряда: x^n/3^n(n+1)

1. Осмотрим степенной ряд с положительными коэффициентами, который представлен по ссылке: http://bit.ly/ZTopsh4020A1. Общий член (формулу числовых коэффициентов) данного степенного ряда обозначим через а_n = 1 / (3ⁿ * (n + 1)).
2. Областью сходимости степенного ряда является интервал (-R; R), где число R вычисляется по формуле: http://bit.ly/ZTopsh4020A2.
3. Вычислим значение радиуса сходимости R (См. http://bit.ly/ZTopsh4020A3). Существование найденного интеграла дозволяет утверждать, что данный ряд является сходящимся (безусловно) при всех x (-3; 3). Теперь проверим сходимость ряда на концах этого отысканного интервала, то есть на точках а) х = -3 и б) х = 3.
4. В случае а) х = -3 получаем ряд (((-3)ⁿ / (3ⁿ * (n + 1)) = ((-1)ⁿ / (n + 1)). Полученный ряд является числовым знакочередующимся рядом, которого исследуем по признаку Лейбница. а) По первому признаку Лейбница каждый следующий член ряда по абсолютной величине обязан быть меньше предшествующего, т.е. для нашего ряда это условие производится. Вправду, для n = 1, 2 , , правосудно неравенство ((-1)ⁿ / (n + 1)) gt; ((-1)ⁿ / (n + 1 + 1)), то есть, 1 / (n + 1) gt; 1 / (n + 2). б) По второму признаку Лейбница члены ряда по модулю обязаны убывать. Очевидно, что предел выражения 1 / (n + 1) при n устремляющимся к бесконечности, равен нулю. Значит, ряд сходится. Это значит, что точка x = -3 является точкой сходимости данного степенного ряда с положительными коэффициентами.
5. В случае б) х = 3 получаем ряд ((3ⁿ / (3ⁿ * (n + 1)) = (1 / (n + 1)). Приобретенный ряд является числовым рядом с положительными членами, который совпадает с рядом (1 / n) без первого члена суммы, одинакового 1. Как знаменито, последний ряд расползается. Как следует, расползается и ряд (1 / (n + 1)). Это значит, что точка x = 3 не является точкой сходимости данного степенного ряда с положительными коэффициентами.
6. Таким образом, областью сходимости данного степенного ряда является огромное количество [-3; 3).

Ответ: [-3; 3).