Пусть известно, что a+b=7, ab=12. Чему одинаково a2+b2? А чему a3+b3?

Имеем систему: a + b = 7; ab = 12;

Из второго уравнения выражаем b и подставляем в 1-ое:

b = 12/а;

а + 12/а = 7; приводим левую часть к знаменателю а:

(а² + 12)/а = 7; далее, используя главное правило пропорций, крест накрест, переписываем всё в виде творений:

а² + 12 = 7а; приводим к виду квадратного уравнения:

а² 7а + 12 = 0; решаем через дискриминант:

Д = 49 48 = 1; находим корешки:

а₁ = (7 + 1)/2 = 4;

а₂ = (7 - 1)/2 = 3; обретаем b:

b₁ = 12/4 = 3;

b₂ = 12/3 = 4.

а² + b² = 16 + 9 = 25; (при обеих парах а и b);

а³ + b³ = 64 + 27 = 91; (при обеих парах а и b);

a²+b²+a³+b³ = 25 + 91 = 116; (при обеих парах а и b).

Ответ: 116.