Отыскать угловые коэффициенты касательных к графику функции f(x)=-4/x, пересекающих прямую у=х

1. Осмотрим функцию f(x) = -4 / x. Как известно, уравнение касательной к графику функции f(x) в точке x₀ имеет вид: у = f(x₀) + f (x₀) * (x x₀). Для нашей функции f(x) = -4 / x, получим: f (x) = (-4 / x) = -4 * (х^-1) = -4 * (-1) * х^{-1 - 1} = 4 / x и f (x₀) = 4 / (x₀). Как следует, уравнение касательной к графику нашей функции f(x) в точке x₀ имеет вид: у = f(x₀) + (4 / (x₀)) * (x x₀) = -4 / x₀ + (4 / (x₀)) * x - 4 / x₀ = (4 / (x₀)) * x - 8 / x₀, то есть, у = (4 / (x₀)) * x - 8 / x₀.
2. По условию задания, касательная к графику данной функции пересекает прямую у = х в точке с абсциссой х = -1. Светло, что ордината точки скрещения также имеет значение у = х = -1. Как следует, точка скрещения с координатами (1; -1) обязана удовлетворять уравнению касательной. Как следует, имеем: -1 = (4 / (x₀)) * (-1) - 8 / x₀. Это уравнение относительно x₀ после подходящих преображений может быть приведено к виду (x₀) - 8 * x₀ 4 = 0 и имеет два различных корня: (x₀)₁ = 4 - 2(5) и (x₀)₂ = 4 + 2(5).
3. Для каждого корня найдём угловой коэффициент касательной. При x₀ = 4 - 2(5), угловой коэффициент равен 4 / (x₀) = 4 / (4 - 2(5)) = 4 / (16 - 16(5) + 20) = 9 + 4(5). Подобно, если x₀ = 4 - 2(5), то имеем: 4 / (x₀) = 4 / (4 + 2(5)) = 4 / (16 + 16(5) + 20) = 9 - 4(5).

Ответ: 9 + 4(5) и 9 - 4(5).