В правильную четырехугольную пирамиду,сторона основы которой равна 4 см,вписан шар.Найдите обьем

Для решения осмотрим набросок (http://bit.ly/2UwXaCS).

Вписанный шар дотрагивается боковой грани в точке Н и основания в точке О.

Отрезки КН = КО = R = 1 см.

Отрезок ОМ = АД / 2 = 4 / 2 = 2см.

Прямоугольные треугольники РОМ и РКН подобны по острому углу ОРМ.

Тогда, коэффициент подобия равен: ОМ / КН = 2 / 1 = 2.

Пусть длина отрезка РН = Х см, тогда РМ = 2 * Х см, а длина РО = (Х + 1) см.

В прямоугольном треугольнике РОМ, по теореме Пифагора: РМ² = РО² + ОМ².

4 * Х² = (Х + 1)² + 4 = Х² + 2 * Х + 1 + 4.

3 * Х² 2 * Х 5 = 0.

Решим квадратное уравнение.

Х = 5 / 3.

Тогда РО = 5 / 3 + 1 = 8/3 см.

Площадь основания пирамиды одинакова: Sосн = АД2 = 16 см².

V = Sосн * РО / 3 = 16 * (8/3) / 3 = 128 / 9 = 14(2/9) см³.

Ответ: Объем пирамиды равен 14(2/9) см³.